Question

1．求下列函数的值域：
（1）y=$\sqrt{x}$-1；（2）y=$\frac{5x-1}{4x+2}$；（3）y=5-x+$\sqrt{3x-1}$；（4）y=$\frac{3x}{{x}^{2}+4}$；（5）y=|x+1|+|x-2|

Answer 1

分析 （1）利用$\sqrt{x}$≥0，可得函数的值域；
（2）利用部分分式法，可得函数的值域；
（3）利用换元法、结合配方法，可得函数的值域；
（4）利用基本不等式，可得函数的值域；
（5）利用绝对值不等式，可得函数的值域．

解答 解：（1）y=$\sqrt{x}$-1≥-1，∴函数的值域为[-1，+∞）；
（2）y=$\frac{5x-1}{4x+2}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{7}{2}$•$\frac{1}{4x+2}$≠$\frac{5}{4}$，∴函数的值域为（-∞，$\frac{5}{4}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞）；
（3）设t=$\sqrt{3x-1}$（t≥0），则x=$\frac{1}{3}$（t²+1），y=5-$\frac{1}{3}$（t²+1）+t=-$\frac{1}{3}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{65}{12}$≤$\frac{65}{12}$，∴函数的值域为（-∞，$\frac{65}{12}$]；
（4）x=0时，y=$\frac{3x}{{x}^{2}+4}$=0；x≠0时，|y|=|$\frac{3}{x+\frac{4}{x}}$|∈（0，$\frac{3}{4}$]，∴函数的值域为[-$\frac{3}{4}$，0）∪（0，$\frac{3}{4}$]；
（5）y=|x+1|+|x-2|≥|x+1-x+2|=3，∴函数的值域为[3，+∞）．

点评 本题考查函数的值域，考查部分分式法、换元法、配方法、基本不等式等方法的运用，正确运用方法是关键．