Question

若函数f(x)=

1

3

x3-a2x满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意函数f(x)=

1

3

x3-a2x满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，必有函数f(x)=

1

3

x3-a2x满足其最大值与最小值的差小于等于1，由此不等式解出参数a的范围即可，故可先求出函数的导数，用导数判断出最值，求出最大值与最小值的差，得到关于a的不等式，解出a的值．

解答：解：由题意f′（x）=x²-a²
当|a|≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，
故最大值为f（0）=0，最小值为f（1）=

1

3

-a²
故有a2-

1

3

≤1，解得|a|≤

2 3

3

，解可得-

2 3

3

≤a≤

2 3

3

；
又|a|≥1，则-

2 3

3

≤a≤-1或1≤a≤

2 3

3

．
当|a|∈[0，1），由导数知函数在[0，a]上减，在[a，1]上增；
故最小值为f（a）=-

2

3

a3＜0，
又f（0）=0，f（1）=

1

3

-a²；
若f（0）=0是最大值，此时符合；若f（1）=

1

3

-a²是最大值，此时也符合，
故对任意的|a|∈[0，1）都有对于任意的x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立
综上得a的取值范围是-

2 3

3

≤ a≤

2 3

3

、
故答案为：-

2 3

3

≤ a≤

2 3

3

．

点评：此题的关键是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min≤1，另外还要根据x∈[0，1]对a进行分类讨论判断f′（x）=x²-a²的符号进而可以根据单调性判断f（x）在[0，1]的最值．