Question

如图，有一块矩形草坪ABCD，AB=100米，BC=米，欲在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°；

（1）设∠BOE=，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；

（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？

并求出最低总费用．

Answer 1

 (1)Rt△BOE中，OB=50, ∠B=90°，∠BOE=，∴OE=.

Rt△AOF中，OA=50, ∠A=90°，∠AFO=，∴OF=.

又∠EOF=90°，∴EF==,

∴

即．　　　　　　　　

当点F在点D时，这时角最小，求得此时=；

当点E在C点时，这时角最大，求得此时=．

故此函数的定义域为.

(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可.

由（1）得，，

设，则，

∴.

由，，得，∴，

从而，当，即BE=50时，,

所以当BE=AE=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.