Question

2．在直角坐标系xOy中，M（-2，0）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A（ρ，θ）为曲线C上一点，B（ρ，θ+$\frac{π}{3}$），且|BM|=1．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求|OA|²+|MA|²的取值范围．

Answer 1

分析 （I）B（ρ，θ+$\frac{π}{3}$），化为直角坐标：B$（ρcos（θ+\frac{π}{3}），ρsin（θ+\frac{π}{3}））$，利用|BM|=1，可得ρ²+4ρ$cos（θ+\frac{π}{3}）$+3=0，展开把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²代入即可得出．
（II）x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y+3=0配方为：（x+1）²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=1，可得圆心C，半径r．得出点P（-1，0）到圆心C的距离d．A（ρ，θ）化为直角坐标A（x，y）．|OA|²+|MA|²=2[（x+1）²+y²]+2∈[2d²-1+2，2d²+1+2]．

解答 解：（I）B（ρ，θ+$\frac{π}{3}$），化为直角坐标：B$（ρcos（θ+\frac{π}{3}），ρsin（θ+\frac{π}{3}））$，
∵|BM|=1，∴$\sqrt{[ρcos（θ+\frac{π}{3}）+2]^{2}+[ρsin（θ+\frac{π}{3}）]^{2}}$=1，化为：ρ²+4ρ$cos（θ+\frac{π}{3}）$+3=0，展开：ρ²+$4ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$+3=0，
化为直角坐标方程：x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y+3=0．
（II）：x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y+3=0配方为：（x+1）²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=1，可得圆心C$（-1，\sqrt{3}）$，半径r=1．
点P（-1，0）到圆心C的距离d=$\sqrt{3}$．
A（ρ，θ）化为直角坐标A（x，y）．
∴|OA|²+|MA|²=x²+y²+（x+2）²+y²=2[（x+1）²+y²]+2∈[2×3-1+2，2×3+1+2]，即|OA|²+|MA|²∈[7，9]．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．