Question

若二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围．

Answer 1

答案：
解析：

答：6≤f(－2)≤10． 　　解：方法一：∵y＝f(x)的图象过原点， 　　∴f(x)＝ax2＋bx． 　　∴f(－1)＝a－b， 　　f(1)＝a＋b． 　　∴作出二元一次不等式组 　　所表示的aOb平面内的平面区域(如图)，此即为所求的可行域． 　　考虑z＝4a－2b，将它变形为b＝2a－z，这是斜率为2，随z变化的一族平行直线．－z是直线在b轴上的截距，当直线截距最大时z值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z＝4a－2b取得最小值；当直线截距最小时，z值最大．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z＝4a－2b取得最大值． 　　由图可知，当直线z＝4a－2b经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小． 　　解方程组得A的坐标为(2，1)，所以zmin＝4a－2b＝4×2－2×1＝6． 　　当直线z＝4a－2b经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大． 　　解方程组得B的坐标为(3，1)， 　　所以zmin＝4×3－2×1＝10． 　　思路分析：方法一：设出f(x)的表达式，系数a，b待定，而f(－2)＝4a－2b的范围可用线性规划的知识求解． 　　答：6≤f(－2)≤10． 　　解：设f(－2)＝4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b， 　　∴ 　　∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)． 　　∵3≤f(1)≤4，1≤f(－1)≤2， 　　∴3≤a＋b≤4①，1≤a－b≤2， 　　3≤3(a－b)≤6②． 　　①＋②，得6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10． 　　思路分析：方法二：设f(x)＝ax2＋bx，∴f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b，f(－2)＝4a－2b．可将a＋b，a－b看成一个整体，用待定系数法．