Question

16．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，E是AB中点，A₁E⊥平面ABC．
（I）证明：BC₁∥平面 A₁EC；
（II）若 A₁A⊥A₁B，且AB=2，求三棱锥 B₁-ACA₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式求出相应的底面积和高即可．

解答 解：（I）证明：设AC₁与A₁C交于F点，连接EF，
∵E，F分别是线段A B，AC₁的中点，
∴EF∥BC₁，又EF?平面A₁EC，BC₁?平面A₁EC
故BC₁∥平面A₁EC
（II）由已知易得BB₁∥平面ACA₁
∴点B到平面ACA₁的距离等于点B₁到平面ACA₁的距离．
则三棱锥B₁-ACA₁的体积等于三棱锥B-ACA₁的体积．
而三棱锥B-ACA₁的体积又等于三棱锥A₁-ABC的体积，
由已知易得正三角形ABC的面积为$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，
∵A₁E⊥平面ABC，且易得A₁E=1，
∴三棱锥A₁-A BC的体积$V=\frac{1}{3}S•{{A}_1}{E}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故三棱锥B₁-ACA₁的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及三棱锥的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．