Question

18．如图，P为正方体ABCD外一点，PB⊥平面ABCD，PB=AB=2，E为PD中点
（1）求证：PA⊥CE；
（2）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer 1

分析 （1）取PA中点F，连接EF，BF，证明PA⊥平面EFBC，即可证明PA⊥CE；
（2）求出侧面积与底面积，即可求四棱锥P-ABCD的表面积．

解答 （1）证明：取PA中点F，连接EF，BF，
则EF∥AD∥BC，即EF，BC共面
因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥BC，
又因为AB⊥BC且AB∩PB=B，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PA，
由于PB=AB，所以BF⊥PA，
又由于BC∩BF=B，
所以PA⊥平面EFBC
因为CE⊆平面EFBC，所以PA⊥CE…（6分）
（2）解：设四棱锥P-ABCD的表面积为S，
由于PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD，
又CD⊥BC，PB∩BC=B
所以CD⊥平面PAB，所以CD⊥PC，即△PCD为直角三角形，
由（1）知BC⊥平面PAB，
而AD∥BC，
所以AD⊥平面PAB，故AD⊥PA，即△PAD也为直角三角形
综上，$S=\frac{1}{2}PC•CD+\frac{1}{2}PB•CB+\frac{1}{2}PA•AD+\frac{1}{2}AB•PB+AB•BC=8+4\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥P-ABCD的表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．