Question

若a＞0，b＞0且a+b=7，则

4

a

+

1

b+2

的最小值为（　　）

• A、

  8

  9

• B、1
• C、

  9

  8

• D、

  102

  77

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：由于a＞0，b＞0且a+b=7，可得a=7-b＞0，0＜b＜7.

4

a

+

1

b+2

=

4

7-b

+

1

b+2

=f（b），再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答：解：∵a＞0，b＞0且a+b=7，∴a=7-b＞0，∴0＜b＜7．
∴

4

a

+

1

b+2

=

4

7-b

+

1

b+2

=f（b），
∴f′(b)=

4

(b-7)2

-

1

(b+2)2

=

3(b+10)(b-1)

(b-7)2(b+2)2

，
令f′（b）=0，解得b=1．此时a=6．
当0＜b＜1时，f′（b）＜0，此时函数f（b）单调递减；当1＜b时，f′（b）＞0，此时函数f（b）单调递增．
∴当b=1时，函数f（b）取得极小值即小值．
f（1）=

4

6

+

1

1+2

=1．
故选：B．

点评：本题考查了导数研究其单调性极值与最值，属于基础题．