Question

（2013•枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）当AB=

9

2

时，求该多面体的体积．

Answer 1

分析：（1）证法1（线面平行的判定定理法）：过点E作EG⊥CF于G，连结DG，可证得四边形ADGE为平行四边形，进而AE∥DG，结合线面平行的判定定理得到答案．
（1）证法2：（面面平行的性质法）：由四边形BEFC为梯形，可得BE∥CF，结合线面平行的判定定理可得BE∥平面DCF，同理由AB∥DC，可证AB∥平面DCF，由面面平行的判定定理得到平面ABE∥平面DCF，进而由面面平行的性质得到答案．
（2）由三视图知AB⊥平面BEFC，AD⊥平面DCF，所以AB、AD分别为四棱锥A-BEFC和三棱锥A-DCF的高，代入棱锥体积公式可得答案．

解答：证明：（1）证法1（线面平行的判定定理法）：
过点E作EG⊥CF于G，连结DG
由题设条件可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，
所以AD∥EG，且AD=EG．
从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG…（4分）
又因为AE?平面DCF，DG?平面DCF，
所以AE∥平面DCF．…（6分）
证法2：（面面平行的性质法）
因为四边形BEFC为梯形，所以BE∥CF．
又因为BE?平面DCF，CF?平面DCF，
所以BE∥平面DCF．…（2分）
因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥DC．同理可证AB∥平面DCF．
又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线，
所以平面ABE∥平面DCF．…（4分）
又因为AE?平面ABE，所以AE∥平面DCF…（6分）
（2）由三视图知AB⊥平面BEFC，AD⊥平面DCF，所以AB、AD分别为四棱锥A-BEFC和三棱锥A-DCF的高．…（7分）
在Rt△EGF中，因为EG=BC=

3

，EF=2，
所以∠GFE=60°，且GF=1
又因为∠CEF=90°
故CF=

EF

cos∠CFE

=

2

cos60°

=4
从而BE=CG=3．…（9分）
多面体的体积V=V四棱锥_A-BEFC+V_{三棱锥A-DCF}=

1

3

×[

1

2

×(3+4)×

3

]×

9

2

+

1

3

×(

1

2

×4×

9

2

)×

3

=

33 3

4

．（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，由三视图还原实物图，棱锥的体积，其中（1）的关键是熟练掌握线面平行证明的方法和步骤，（2）的关键是分析出AB、AD分别为四棱锥A-BEFC和三棱锥A-DCF的高，将复杂几何体体积的运算转化为棱锥体积运算．