Question

16．棱长为1的正四面体ABCD中，E为棱AB上一点（不含A，B两点），点E到平面ACD和平面BCD的距离分别为a，b，则$\frac{（ab+1）（a+b）}{ab}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $\frac{{7\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 连结CE，DE，O为△BCD的中心，求出OA，利用体积关系式，求解以及基本不等式求解即可．

解答 解：连结CE，DE，由正四面体棱长为1，如图设ABCD是棱长为1的正四面体，
作AO⊥平面BCD于O，则O为△BCD的中心
则BO=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴正四面体的高为AO=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即OA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由于V_A-BCD=V_E-BCD+V_E-ACD，有$\frac{\sqrt{6}}{3}$=a+b，由a+b$≥2\sqrt{ab}$，
可得$\frac{1}{ab}$≥$\frac{4}{（a+b）^{2}}$=6，
所以$\frac{（ab+1）（a+b）}{ab}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}（1+\frac{1}{ab}）$$≥\frac{7\sqrt{6}}{3}$．
故选：：D．

点评 本题考查几何体的体积以及点到平面的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．