题目内容

若非零不共线向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 满足| $数学公式$ - $数学公式$ |=| $数学公式$ |，则下列结论正确的个数是
①向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 的夹角恒为锐角；
②2| $数学公式$ |²＞ $数学公式$ • $数学公式$ ；
③|2 $数学公式$ |＞| $数学公式$ -2 $数学公式$ |；
④|2 $数学公式$ |＜|2 $数学公式$ - $数学公式$ |．

A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

C
分析：对于①，利用已知条件，推出向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 组成的三角形是等腰三角形，判定正误即可；
对于②，利用数量积公式，结合已知条件，判断正误；
对于③，通过平方以及向量的数量积判断正误．
对于④，|2 $\text{[math]}$ |＜|2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |，得到4| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＜| $\text{[math]}$ |不一定成立，说明正误即可．
解答：①因为非零向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |，所以由向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 组成的三角形是等腰三角形，
且向量 $\text{[math]}$ 是底边，所以向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角恒为锐角，①正确；
②：2| $\text{[math]}$ |²＞ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞?2| $\text{[math]}$ |＞| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞，
而| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=2| $\text{[math]}$ |＞| $\text{[math]}$ |＞| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞，所以②正确；
③：|2 $\text{[math]}$ |＞| $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ |?4| $\text{[math]}$ |²＞| $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ |²=| $\text{[math]}$ |²-4| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞+4| $\text{[math]}$ |²?4| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＞| $\text{[math]}$ |²?4•| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＞| $\text{[math]}$ |，
而2| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=| $\text{[math]}$ |，所以4| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＞| $\text{[math]}$ |，③正确；
④：|2 $\text{[math]}$ |＜|2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |?4| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＜| $\text{[math]}$ |，而4| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＜| $\text{[math]}$ |不一定成立，所以④不正确．
故选C．
点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．