Question

16．已知函数f（x）=x²-kx+（2k-3）．
（1）若k=$\frac{3}{2}$时，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于$\frac{5}{2}$，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由k的值，得到f（x）解析式，由此得到大于0的解集．
（2）由f（x）＞0恒成立，得到判别式小于0恒成立．
（3）由两个不同的零点，得到判别式△＞0，由两点均大于$\frac{5}{2}$，得到对称轴大于$\frac{5}{2}$，和f（$\frac{5}{2}$）＞0．

解答 解：（1）若k=$\frac{3}{2}$时，f（x）=x²-$\frac{3}{2}$x．
由f（x）＞0，得x²-$\frac{3}{2}$x＞0，即x（x-$\frac{3}{2}$）＞0
∴不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞$\frac{3}{2}$}
（2）∵f（x）＞0对任意x∈R恒成立，
则△=（-k）²-4（2k-3）＜0，
即k²-8k+12＜0，解得k的取值范围是2＜k＜6．
（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于$\frac{5}{2}$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{△={k}^{2}-8k+12＞0}\\{\frac{k}{2}＞\frac{5}{2}}\\{f（\frac{5}{2}）＞0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k＜2或k＞6}\\{k＞5}\\{k＜\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
∴实数k的取值范围是（6，$\frac{13}{2}$）．

点评 本题考查二次函数图象和性质，以及二次函数的根与判别式，根与零点的关系．