Question

5．已知曲线Γ上的点到F（1，0）的距离比它到直线x=-3的距离小2，过F的直线交曲线Γ于A，B两点．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求直线AB的斜率；
（3）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知：点M到F（1，0）的距离与它到直线l'：x=-1的距离相等，所以点M的轨迹C是以F为焦点，l'为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程；
（2）设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y²-4my-4=0．由此能够求出直线AB的斜率．
（3）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S_△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．

解答 解：（1）由已知条件知，点M到F（1，0）的距离与它到直线l'：x=-1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l'为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y²=4x（4分）
（2）依题意，设直线AB方程为x=my+1．            
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y²-4my-4=0． 
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①
因为 $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，
所以 y₁=-2y₂．    ②…（5分）
联立①和②，消去y₁，y₂，得m=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$． …（8分）
所以直线AB的斜率是$k=±2\sqrt{2}$（4分）
（3）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S_△AOB．  …（9分）
因为2S_△AOB=2×$\frac{1}{2}•|OF|×$|y₁-y₂|=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$…（12分）
所以 m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．      …（13分）

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．