Question

16．已知抛物线y²=4x，A，B是抛物线的两点（分别在x轴两侧），AB=6，过A，B分别作抛物线的切线l₁，l₂，l₁与l₂交于点Q，求三角形ABQ面积的最大值（　　）

• A． $\frac{27}{2}$
• B． 8
• C． 12$\sqrt{3}$
• D． 18

Answer 1

分析 设出直线AB的方程为：x=my+t，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）、B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），求导得到过A，B的切线方程，联立求出Q的坐标，由弦长可得m与t的关系，再由点到直线的距离公式求出Q到AB的距离，代入三角形面积公式，利用函数求最值．

解答 解：如图，设直线AB的方程为：x=my+t，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）、B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
则曲线在A点处的切线的斜率为${y}_{1}′=\frac{2}{{y}_{1}}$，在点B处的切线的斜率${y}_{2}′=\frac{2}{{y}_{2}}$．

∴曲线在A点处的切线方程为y-y₁=$\frac{2}{{y}_{1}}$（$x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$），在点B处的切线方程为y-y₂=$\frac{2}{{y}_{2}}$（x-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{1}=\frac{2}{{y}_{1}}（x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）}\\{y-{y}_{2}=\frac{2}{{y}_{2}}（x-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}）}\end{array}\right.$，解得Q（$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+t}\end{array}\right.$，得y²-4my-4t=0，则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t，
由|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{2}-{y}_{1}|=\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\sqrt{16{m}^{2}+16t}$=6，
得$\sqrt{1+{m}^{2}}•\sqrt{{m}^{2}+t}=\frac{3}{2}$．
Q（-t，2m）到直线x=my+t的距离d=$\frac{|2t+2{m}^{2}|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$．
∴${S}_{△ABQ}=\frac{1}{2}×6×\frac{2|t+{m}^{2}|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$6×\frac{\frac{9}{4（{m}^{2}+1）}}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{27}{2}•\frac{1}{\root{3}{{m}^{2}+1}}$．
∴当m=0时，三角形ABQ的面积取最大值$\frac{27}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了函数最值的求法，是中档题．