Question

12．某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：

员工编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年薪（万元）	4	4.5	6	5	6.5	7.5	8	8.5	9	51

（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$中系数计算公式分别为：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{7}{5}=1.4$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$，其中$\overline x，\overline y$为样本均值．

Answer 1

分析 （1）根据表格数据计算该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）ξ取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望；
（3）求出线性回归方程，根据回归方程预测．

解答 解：（1）平均值为11万元，中位数为$\frac{6.5+7.5}{2}$=7万元．
（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.$P（ξ=0）=\frac{C_5^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{9}$，$P（ξ=1）=\frac{C_5^1C_5^1}{{C_{10}^2}}=\frac{5}{9}$，$P（ξ=2）=\frac{C_5^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{9}$，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$

数学期望为$Eξ=0×\frac{2}{9}+1×\frac{5}{9}+2×\frac{2}{9}=1$．
（3）设x_i，y_i（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则$\overline{x}=2.5，\overline{y}=6$，$\sum_1^4{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=2.25+0.25+0.25+2.25=5$$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\bar y）}=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.5）+0.5×0+1.5×2.5=7$
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{7}{5}=1.4$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=6-1.4×2.5=2.5$，
得线性回归方程：y=1.4x+2.5．
可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．

点评 本题考查了古典概型的概率计算，求ξ的分布列和期望，线性回归方程的解法及应用，属于中档题．