Question

13．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{sinθ}{co{s}^{2}θ}$．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）作斜率为1直线l与曲线C交于A，B两点，试求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （I）对极坐标方程两边同乘ρ，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（II）求出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用参数的几何意义求出．

解答 解：（I）∵ρ=$\frac{sinθ}{co{s}^{2}θ}$，∴ρ²cos²θ=ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程是x²=y，即y=x²．
（II）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
将$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入y=x²得t²-$\sqrt{2}t$-4=0．
∴t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4．
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{|PA|+|PB|}{|PA||PB|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{{|t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．