Question

16．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，AD=2，AB=PA=1，且PA⊥平面ABCD．
（1）请判定PB与AC的位置关系，并证明；
（2）求顶点A到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥平面PAB，即可判定PB与AC的位置关系；
（2）过A作AH⊥PC，垂足为H，则AH⊥平面PCD，利用等面积求顶点A到平面PCD的距离

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC；…（2分）
在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2，AB=1，
∴AC²=AB²+BC²-2 AB•BC cos60°=1+4-2=3，则AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC；…（4分）
又PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，
∴PB⊥AC；…（6分）
（2）由（1）知：AC⊥CD，又PA⊥CD，则CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；…（8分）
过A作AH⊥PC，垂足为H，则AH⊥平面PCD；…（10分）
在Rt△PAC中，AH=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即A到平面PCD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（12分）．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查A到平面PCD的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．