Question

1．某数学兴趣小组为了烟瘴视觉和空间能力与性别是否有关，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30人，女20人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表所示：（单位：人）

题型 性别	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）从这50名同学中随机选取男生和女生各1人，求他们选做的题不同的概率；
（3）已知选择做几何题的8名女生有3人解答正确，从这8人中任意抽取3人对他们的答题情况进行研究，被抽取的女生中解答正确的人数记为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式：

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中数据得K²=$\frac{50}{9}＞5.024$，根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．
（Ⅱ） 从这50名同学中随机选取男生和女生各1人，先求出基本事件总数，再求出他们选做的题不同包含的基本事件个数，由此能求出他们选做的题不同的概率．
（Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有56种，X可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由表中数据得K²的观测值：
${K^2}=\frac{{50{{（{22×12-8×8}）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}＞5.024$
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．…（3分）
（Ⅱ） 记他们选做的题不同的事件为A，
∵从这50名同学中随机选取男生和女生各1人，
∴他们选做的题不同的概率$P（A）=\frac{{C_8^1C_8^1+C_{22}^1C_{12}^1}}{{C_{30}^1C_{20}^1}}=\frac{41}{75}$…（6分）
（Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有$C_8^3=56$种，
X可能取值为0，1，2，3，
$P（{X=0}）=\frac{C_5^3}{56}=\frac{5}{28}$，…（7分）
$P（{X=1}）=\frac{C_5^2C_3^1}{56}=\frac{15}{28}$，…（8分）
$P（{X=2}）=\frac{C_5^1C_3^2}{56}=\frac{15}{56}$，
$P（{X=3}）=\frac{C_3^3}{56}=\frac{1}{56}$…（10分）
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{56}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

…（10分）
∴$EX=0+\frac{15}{28}×1+\frac{15}{56}×2+\frac{1}{56}×3=\frac{63}{56}=\frac{9}{8}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．