Question

已知函数图象上一点处的切线方程为．

⑴求的值；

⑵若方程在内有两个不等实根，求实数的取值范围（其中为自然对数的底，）；

⑶令，如果图象与轴交于，中点为，求证：．

Answer 1

⑴，

∴，解得

⑵，令，，

令，得（舍）

在内，当时，是增函数，

当时，，∴是减函数，则方程在内有两个不等实根的充要条件是，即．

⑶，假设，则

，⑴－⑵得，

∴由⑷得，∴即，

即      ⑸

令

则，∴在（0，1）上是增函数，，∴⑸不成立与⑸成立矛盾。于是