Question

18．如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2．
（Ⅰ）若二面角P-CD-B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （I）取PD中点M，PC中点N，连结MN，AM，BN，则可证四边形ABNM是矩形，于是BN⊥MN，利用勾股定理的逆定理可得PB=BC，故BN⊥PC，于是BN⊥平面PCD，故平面BPC⊥平面DPC．
（2）求出棱锥P-ABC的体积，将平面PBC作底面即可求出点A到平面PBC的距离．

解答 解：（I）取PD中点M，PC中点N，连结MN，AM，BN，则MN∥CD，MN=$\frac{1}{2}CD$．
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$，
∴AB∥MN，AB=MN，
∴四边形ABNM是平行四边形．
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥PA，又AB⊥AD，PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∵AM?平面PAD，
∴AB⊥AM，
∴平行四边形ABNM是矩形．∴BN⊥MN．
∵AB∥CD，AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥PD，CD⊥AD，
∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°，
∴PA=AD=2，
∴PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
取CD中点E，连结BE，则BE=AD=2，CE=$\frac{1}{2}$CD=1，∠BEC=90°，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{5}$．
∴PB=BC，∴BN⊥PC．
∵PC?平面PCD，MN?平面PCD，PC∩MN=N，
∴BN⊥平面PCD，∵BN?平面PBC，
∴平面BPC⊥平面DPC．
（II）连结AC，则AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}=2\sqrt{2}$．PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}=2\sqrt{2}$．
∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}=2\sqrt{3}$．BN=AM=$\sqrt{2}$．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}PC×BN$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AD=1．设A到平面PBC的距离为h，
则V_棱锥P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC×PA=$\frac{1}{3}×{S}_{△PBC}×h$．
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．