Question

已知不等式：lg（x+1）≤1的解集为A，函数：y=2^x+a（x≤1）的值域为B；
（1）求集合A和B；
（2）已知（∁_RA）∪B=C_RA，求a的取值范围．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,交、并、补集的混合运算,函数的值域

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由lg（x+1）≤1和对数的性质可得-1＜x≤9，可得A=（-1，9]，再由y=2^x+a（x≤1）是单增函数可得B=（a，2+a]
（2）由（1）知：C_RA=（-∞，-1]∪（9，+∞），由题意易得2+a≤-1或a≥9，解不等式可得．

解答： 解：（1）由lg（x+1）≤1可得lg（x+1）≤lg10，
∴0＜x+1≤10，解得-1＜x≤9，
∴A=（-1，9]，
∵y=2^x+a（x≤1）是单增函数，
∴a＜2^x+a≤2+a，
∴B=（a，2+a]
（2）由（1）知：C_RA=（-∞，-1]∪（9，+∞），
由（∁_RA）∪B=C_RA可得B?C_RA，
∴2+a≤-1或a≥9，解得a≤-3或a≥9
故a的取值范围为a≤-3或a≥9

点评：本题考查不等式的解法，涉及集合的运算，属基础题．