Question

20．若直线y=2x+b与曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且仅有一个公共点，则b的取值范围为{b|-4≤b＜4，或b=$2\sqrt{5}$}．

Answer 1

分析 把曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$转化变形，然后画出图形，求出直线y=2x+b过点（2，0）时的b值，及直线y=2x+b与圆x²+y²=4切于第二象限时的b值，则b的取值范围可求．

解答 解：由y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，得x²+y²=4（y≥0），
如图，当直线y=2x+b过点（2，0）时，直线y=2x+b与曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且仅有一个公共点，此时有2×2+b=0，即b=-4；
平移直线y=2x+b，由对称性可知，当b＜4时，直线y=2x+b与曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且仅有一个公共点；
当直线y=2x+b与圆x²+y²=4切于第二象限时，直线y=2x+b与曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且仅有一个公共点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得5x²+4bx+b²-4=0．
由△=16b²-4×5（b²-4）=-4b²+80=0，
解得：b=$±2\sqrt{5}$．
∴b=$2\sqrt{5}$．
∴直线y=2x+b与曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$有且仅有一个公共点的b的取值范围为{b|-4≤b＜4，或b=$2\sqrt{5}$}．
故答案为：{b|-4≤b＜4，或b=$2\sqrt{5}$}．

点评 本题考查曲线与方程，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．