Question

若函数g(

1

2

x+1)是奇函数，且函数f（2x+1）=sin（ωx）（0＜ω＜4）过g（x）图象的对称点，则函数f（x）的周期为

4

．

Answer 1

分析：由函数g（

1

2

x+1）是奇函数，根据奇函数的性质可得函数关于原点对称，进而确定出g（x）对称点为（-2，0），将（-2，0）代入f（2x+1）=sin（ωx），由ωx=kπ（k为整数），根据ω的范围确定出ω的值，设t=2x+1，确定出f（t）的解析式，即为f（x）的解析式，利用周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期．

解答：解：∵函数g（

1

2

x+1）是奇函数，
∴函数g（

1

2

x+1）的对称点为（0，0），
∴g（x）的对称点为（-2，0），
∴f（2x+1）=sin（ωx）过（-2，0），
代入得：f（-3）=sin（-2ω）=-sin2ω=0，即sin2ω=0，
∴2ω=kπ（k∈Z），即ω=

kπ

2

，又0＜ω＜4，
∴ω=π或ω=

π

2

，
设t=2x+1，则x=

t-1

2

，
∴f（t）=sin（

ω

2

t-

ω

2

），即f（x）=sin（

ω

2

x-

ω

2

），
∴T=4或8，
则f（x）的最小正周期是4．
故答案为：4

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：函数的奇偶性的性质，函数解析式的确定，正弦函数的图象与性质，其中得出g（x）图象的对称点是解本题的关键．