Question

3．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2$\sqrt{2}$，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先求出OD=$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{3}$，连结BD，求出BD=$\sqrt{6}$，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．
（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．

解答 证明：（1）由题设知OD=$\sqrt{O{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
OB=$\sqrt{O{F}^{2}+F{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
连结BD，在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+2}$=$\sqrt{6}$，
∴OD²+OB²=BD²=6，
由勾股定理逆定理得OD⊥OB．
解：（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，1），B（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，-1$），D（0，$\sqrt{2}$，2），F（0，0，0），
∴$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1），$\overrightarrow{OD}$=（0，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{FO}$=（0，0，1），
设平面OBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=\frac{\sqrt{6}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{2}y+z=0}\end{array}\right.$，令y=-$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$，2），
平面FBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6+2+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴平面DOB与平面BFC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．