Question

1．已知{a_n}是等差数列，满足a₁=2，a₄=14，数列{b_n}满足b₁=1，b₄=6，且{a_n-b_n}是等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若?n∈N^*，都有b_n≤b_k成立，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出数列{a_n}的通项公式，求出{a_n-b_n}的首项和第四项，得到其公比，进一步求其通项公式，则{b_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）由题意，b_k应为数列{b_n}的最大项．然后求出${b}_{n+1}-{b}_{n}=4n-{2}^{n-1}$，再对n分类讨论求得满足b_n≤b_k成立的正整数k的值．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则$d=\frac{{{a_4}-{a_1}}}{3}=4$，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2，
故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2（n∈N^*）．
设c_n=a_n-b_n，则{c_n}为等比数列．
c₁=a₁-b₁=2-1=1，c₄=a₄-b₄=14-6=8，
设{c_n}的公比为q，则${q^3}=\frac{c_4}{c_1}=8$，故q=2．
则${c_n}={2^{n-1}}$，即${a_n}-{b_n}={2^{n-1}}$．
∴${b_n}=4n-2-{2^{n-1}}$（n∈N^*）．
故{b_n}的通项公式为${b_n}=4n-2-{2^{n-1}}$（n∈N^*）．
（Ⅱ）由题意，b_k应为数列{b_n}的最大项．
由${b}_{n+1}-{b}_{n}=4（n+1）-2-{2}^{n}-4n+2+{2}^{n-1}$=4-2^n-1（n∈N^*）．
当n＜3时，b_n+1-b_n＞0，b_n＜b_n+1，即b₁＜b₂＜b₃；
当n=3时，b_n+1-b_n=0，即b₃=b₄；
当n＞3时，b_n+1-b_n＜0，b_n＞b_n+1，即b₄＞b₅＞b₆＞…
综上所述，数列{b_n}中的最大项为b₃和b₄．
故存在k=3或4，使?n∈N^*，都有b_n≤b_k成立．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，考查推理论证能力，属中档题．