Question

3．已知函数f（x）=e^x，g（x）=kx+k，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． [0，1）
• C． （0，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 作出函数的图象，利用导数的几何意义求出切线斜率，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：如图示：
，
若函数f（x）图象恒在函数g（x）图象的上方，
即f（x）-g（x）＞0恒成立，即e^x-k（x+1）＞0，
即e^x＞k（x+1），
若k=0，满足条件，
若k＜0，则不满足条件．
则当k＞0时，g（x）=k（x+1）过定点（-1，0），
函数f（x）的导数为f′（x）=e^x，
设切点为（a，b），则对应的切线斜率k=f′（a）=e^a，
则对应的切线方程为y-e^a=e^a（x-a），
∵直线过点（-1，0），
∴-e^a=e^a（-1-a），
解得a=0，此时切线斜率k=f′（0）=1，
即此时k=1，
则解得0＜k＜1，
综上0≤k＜1，
故选：B．

点评 本题主要考查函数图象关系的应用，利用导数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．