Question

4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{t}\end{array}$（t为参数），点A（1，0），B（3，-$\sqrt{3}}$），若以直角坐标系xOy的O点为极点，x轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系．
（1）求直线AB的极坐标方程；
（2）求直线AB与曲线C交点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A、B写出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；
（2）把曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线与曲线的交点，再化为极坐标即可．

解答 解：（1）由点A（1，0），B（3，-$\sqrt{3}}$），
所以直线AB的直角坐标方程为：$\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}=0$，…（2分）
化为极坐标方程是：$\sqrt{3}ρcosθ+2ρsinθ=\sqrt{3}$；…（4分）
（2）曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{t}\end{array}$（t为参数），
消去参数，化为普通方程是：y²=x（y≥0）；…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+2y=\sqrt{3}\\{y^2}=x（{y≥0}）\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，
即交点的直角坐标为$（{\frac{1}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$；…（8分）
化为极坐标是：$（{\frac{2}{3}，\frac{π}{3}}）$．…（10分）

点评 本题考查了直角坐标与参数方程和极坐标的互化问题，是综合性题目．