Question

    设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①的定义域为R；②方程有实数根；③函数的导数满足”.

（1）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

（2）证明：方程只有一个实数根；

    （3）证明：对于任意的,，当且时，.

Answer 1

解：（1）易证函数满足条件①②③，因此  　　………4′

（2）假设存在两个实根，则，不妨设，

∵∴函数为减函数，∴>,矛盾.

所以方程只有一个实数根                      ………10′

（3） 不妨设，∵，∴为增函数，∴，又∵∴函数为减函数，∴，

∴，即，

∴…………16′