Question

已知椭圆：经过如下五个点中的三个点：，，，，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点为椭圆的左顶点，为椭圆上不同于点的两点，若原点在的外部，且为直角三角形，求面积的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由知，和不在椭圆上，即椭圆经过，，.

于是.

所以 椭圆的方程为：.                  

（Ⅱ）①当时，设直线，由得

.设，则，

所以

.

于是，此时，所以 直线.

因为，故线段与轴相交于，即原点在线段的延长线上，即原点在的外部，符合题设.                

所以

.

当时取到最大值.                              

②当时，不妨设.

设直线，由得.

所以 或.

所以，由，可得直线.

由得.

所以 .

所以 线段与轴相交于.

显然原点在线段上，即原点在的内部，不符合题设.

综上所述，所求的面积的最大值为.