Question

6．判断下列命题正确的是②③④
①若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$（$\overrightarrow c$≠$\overrightarrow 0$），则$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$；
②已知向量$\overrightarrow a$=（2，3），$\overrightarrow b$=（3，-4），则$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影为-$\frac{6}{5}$；
③数列{a_n}，{b_n}均为等差数列，前n项和分别为S_n，T_n．若$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{3n-2}{5n+1}$，则$\frac{a_5}{b_5}$=$\frac{25}{46}$；
④|$\overrightarrow{AB}$|$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{PA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow 0$⇒P为△ABC的内心．

Answer 1

分析 通过举反例可得①错误；利用$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影的定义可得②正确；利用等差数列的定义可得③正确，对向量等式进行变形，可得④正确，从而得出结论．

解答 解：若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$（$\overrightarrow c$≠$\overrightarrow 0$），则不能推出$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$，例如$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$反向且都与$\overrightarrow{c}$垂直时，故①错误；
②已知向量$\overrightarrow a$=（2，3），$\overrightarrow b$=（3，-4），设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影为|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=|$\overrightarrow{a}$|•$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{6-12}{5}$=-$\frac{6}{5}$，故②正确；
③数列{a_n}，{b_n}均为等差数列，前n项和分别为S_n，T_n．若$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{3n-2}{5n+1}$，
则$\frac{a_5}{b_5}$=$\frac{{2a}_{5}}{{2b}_{5}}$=$\frac{{a}_{1}{+a}_{9}}{{b}_{1}{+b}_{9}}$=$\frac{{S}_{9}}{{T}_{9}}$=$\frac{25}{46}$，故③正确；
④∵|$\overrightarrow{AB}$|$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|$\overrightarrow{PA}$+|$\overrightarrow{CA}$|$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow 0$，∴|$\overrightarrow{AB}$|•$\overrightarrow{PC}$+|$\overrightarrow{BC}$|•（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CA}$）+|$\overrightarrow{CA}$|•（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CB}$）=0，
即 $\overrightarrow{PC}$•（|$\overrightarrow{AB}$+|$\overrightarrow{BC}$|+|$\overrightarrow{CA}$|）+|$\overrightarrow{BC}$|•$\overrightarrow{CA}$+|$\overrightarrow{CA}$|•$\overrightarrow{CB}$=0，
∵||$\overrightarrow{BC}$|•$\overrightarrow{CA}$|=||$\overrightarrow{CA}$|•$\overrightarrow{CB}$|，∴|$\overrightarrow{BC}$|•$\overrightarrow{CA}$+|$\overrightarrow{CA}$|•$\overrightarrow{CB}$ 必与角C的角平分线平行，所以P必然落在角C的角平分线上．
同理，P必然落在角A、B的角平分线上．
所以P是三角形ABC的内心，故④正确．
故答案为：②③④．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，向量等式进行变形，等差数列的性质，三角形的内心的定义，属于中档题．