Question

11．已知函数f（x）=cos⁴x-sin⁴x+4$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$cosx．
（Ⅰ）求f（x）的周期；
（Ⅱ）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$，求f（α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出f（x）的周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$，利用平方关系和诱导公式求出f（α+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（$\frac{α}{2}$）=$2sin（2×\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）$=$\frac{2}{3}$，
∴$2sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{2}{3}$，则$sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，
∴$cos（α+\frac{π}{6}）=±\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则f（α+$\frac{π}{3}$）=$2sin（2α+\frac{2π}{3}+\frac{π}{6}）$=$2sin（2α+\frac{π}{3}+\frac{π}{2}）$=$2cos（2α+\frac{π}{3}）$=$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查三角函数的周期公式，二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式，以及平方关系和诱导公式的应用，考查化简、变形能力．