Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a（a∈R，a为为常数）
（1）求函数 f（x）的最小正周期和单调区间
（2）若函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后院，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由两角和与差的正弦公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x-

π

6

）+a，由正弦函数的图象和性质即可求函数 f（x）的最小正周期和单调区间．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换求得函数解析式，然后根据整体思想求得对称轴，最后确定最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a=

3

sin2x-cos2x+a=2sin（2x-

π

6

）+a，
∴T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴函数 f（x）的单调递增区间是：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z，函数 f（x）的单调递减区间是：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z，
（2）函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，得到函数解析式为：g（x）=2sin[2（x-m）-

π

6

]+a=2sin（2x-2m-

π

6

）+a，
∵函数g（x）的图象关于y轴对称，
∴由2m+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得：m=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴由m＞0，实数m的最小值是

π

6

．

点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题．