Question

（13分） 定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,

都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界．

已知函数;

（I）当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为

有界函数,请说明理由;

（Ⅱ）若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围;

（Ⅲ）已知,函数在上的上界是,求的取值范围．

 

Answer 1

（I） 不是有界函数；（Ⅱ） ；（Ⅲ） ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将a=1代入f（x）可得，利用指数函数的单调性判断出f（x）在上是单调递减函数，即可求得，从而得到f（x）的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出f（x）不是有界函数；

（Ⅱ）根据有界函数的定义，可得在上恒成立，利用参变量分离转化为在上恒成立，令，则，，问题转化为求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数h（t）和p（t）的单调性，即可求得最值，从容求得a的取值范围．

试题解析：（I）当时, ,

因为在上递减,所以,即在的值域为

故不存在常数,使成立 ，所以函数在上不是有界函数

（Ⅱ）由题意知,在上恒成立．

,

∴ 在上恒成立

∴

设,,,由得 t≥1,

（设,

所以在上递减,在上递增, （单调性不证,不扣分））

在上的最大值为, 在上的最小值为

所以实数的取值范围为

（Ⅲ）, ∵ m>0 , ∴ 在上递减,

∴ 即

∵ , ∴ 在上递增,

∴ 即个

①当时,, 此时

②当,即,, 此时 ,

③当时,,此时

综上所述:当时,的取值范围是;

当时,的取值范围是 ．

考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．