Question

12．如图：四边形ABCD为等腰梯形，且AD∥BC，E为BC中点，AB=AD=BE．现沿DE将△CDE折起成四棱锥C′-ABED，点O为ED的中点．
（1）在棱AC′上是否存在一点M，使得OM⊥平面C′BE？并证明你的结论；
（2）若AB=2，求四棱锥C′-ABED的体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）底面ABED的面积不变为2$\sqrt{3}$．当平面C'ED⊥平面ABED时，锥体的高最大，根据棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 解：（1）存在，当M为AC的中点时，OM⊥平面C′BE．
取BC'的中点F，连结MF，FE．
∵MF为△ABC'的中位线．
∴MF∥AB，MP=$\frac{1}{2}$AB，
又AB∥ED，AB=ED，O为ED中点，
∴MF∥EO，MF=EO．
∴四边形EFMO为平行四边形．
∴MO⊥EF．
而EF?平面BEC'，OM?平面BEC'，
∴OM⊥平面BEC'．
（2）∵底面ABED的面积不变为2$\sqrt{3}$．
∴当平面C'ED⊥平面ABED时，锥体的高最大．
即C'O⊥平面ABED时，体积最大，此时OC'=$\sqrt{3}$，
∴最大体积为$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及空间几何体的体积的计算，关系相应的判定定理以及锥体的体积公式是解决本题的关键．