Question

10．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x-m
（1）求f（x）的极值
（2）当m取何值时，函数f（x）有三个不同零点？

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）问题转化为f（x）的极大值大于0且f（x）的极小值小于0，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（1）=$\frac{4}{3}$-m，f（x）_极小值=f（3）=-m；
（2）要使函数f（x）有3个不同零点，
只需$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{极大值}＞0}\\{{f（x）}_{极小值}＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得：0＜m＜$\frac{4}{3}$，
故0＜m＜$\frac{4}{3}$时，函数f（x）有三个不同零点．

点评 不同考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．