Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-2a_n=2，数列b_n=log₂（a_n+2）．若S_n为数列{b_n}的前n项和，则{$\frac{{{S_n}+4}}{n}$}的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，利用构造法构造{a_n+2}是公比q=2，首项为a₁+2=2+2=4的等比数列，求出数列{b_n}的通项公式，求出S_n，结合不等式的性质进行求解即可．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1-2a_n=2，
∴a_n+1=2a_n+2，
则a_n+1+2=2a_n+2+2=2（a_n+2），
则$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2，
则数列{a_n+2}是公比q=2，首项为a₁+2=2+2=4的等比数列，
则a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
则b_n=log（a_n+2）=log₂（2ⁿ⁺¹）=n+1，
则S_n=2+3+…+（n+1）=$\frac{（2+n+1）×n}{2}$=$\frac{（n+3）n}{2}$，
则$\frac{{{S_n}+4}}{n}$=$\frac{\frac{（n+3）n}{2}+4}{n}$=$\frac{n+3}{2}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{n}{2}$+$\frac{4}{n}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（n+$\frac{8}{n}$）+$\frac{3}{2}$，
∵t=n+$\frac{8}{n}$在[1，$\sqrt{8}$）上递减，在[$\sqrt{8}$，+∞）为增函数，
则当n=2时，t=n+$\frac{8}{n}$=2+$\frac{8}{2}$=2+4=6，
当n=3时，t=n+$\frac{8}{n}$=3+$\frac{8}{3}$=$\frac{17}{3}$＞6，
则当n=2时，$\frac{{{S_n}+4}}{n}$取得最小值此时$\frac{{{S_n}+4}}{n}$═$\frac{1}{2}$×6+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$，

点评 本题主要考查数列求和的应用，根据递推数列，利用构造法求出数列的通项公式，结合不等式的性质是解决本题的关键．