Question

4．过点P（2，1）的双曲线与椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$共焦点，则其渐近线方程是（　　）

• A． $x±\sqrt{2}y=0$
• B． $\sqrt{2}x±y=0$
• C． x±2y=0
• D． 2x±y=0

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点，可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a²+b²=3，将P（2，1）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，可得双曲线的方程，进而得到渐近线方程．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的焦点为（±$\sqrt{3}$，0），
可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a²+b²=3，
将P（2，1）代入双曲线的方程可得：
$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1，
可得渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用椭圆的焦点和点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．