Question

11．点P是双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）在第一象限的某点，F₁、F₂为双曲线的焦点．若P在以F₁F₂为直径的圆上且满足|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线的定义结合圆的性质可知PF₁⊥PF₂，由已知结合双曲线的定义求得|PF₁|，|PF₂|，再由勾股定理得答案．

解答 解：如图，∵P在以F₁F₂为直径的圆上，
∴F₁F₂为圆的直径，则PF₁⊥PF₂，
∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|=2a}\\{|P{F}_{1}|=3|P{F}_{2}|}\end{array}\right.$，
解得|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=9{a}^{2}+{a}^{2}=4{c}^{2}$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{10}{4}$，得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了双曲线定义的应用，根据圆的性质得到PF₁⊥PF₂是解决本题的关键．考查数形结合的解题思想方法，是中档题．