题目内容

18．已知$\overrightarrow m=（sinx，\frac{1}{2}），\overrightarrow n=（cosx，cos（2x+\frac{π}{6}））$，$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{3}{2}$
（1）试求函数f（x）的单调递增区间；
（2）把函数f（x）的横坐标缩小到原来的一半，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x），在锐角△ABC中，△ABC的三角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$g（B）=\frac{3}{2}$，且$\frac{π}{6}＜B$，b=3，求△ABC面积的最大值．

分析 （1）由条件两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦定理以及基本不等式式，求得△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（sinx，\frac{1}{2}），\overrightarrow n=（cosx，cos（2x+\frac{π}{6}））$，
∴$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{3}{2}=（sinx，\frac{1}{2}）•（cosx，cos（2x+\frac{π}{6}））+\frac{3}{2}=sinxcosx+\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（cos2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin2x•$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{4}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，
可得f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]，k∈Z$
 （2）把函数f（x）的横坐标缩小到原来的一半，可得y=$\frac{1}{2}$sin（4x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$的图象，
再向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数$g（x）=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sin（4x-\frac{π}{3}）$的图象，
∵$g（B）=\frac{3}{2}$，∴$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sin（4B-\frac{π}{3}）=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}sin（4B-\frac{π}{3}）=0，4B-\frac{π}{3}=kπ，B=\frac{kπ}{4}+\frac{π}{12}，k∈z$，
当k=0时，$B=\frac{π}{12}$不合题意；当$k=1，B=\frac{π}{3}$．
根据余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥ac，∴ac≤9，
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{1}{2}×9×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，当且仅当a=b时，△ABC面积的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．

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