题目内容

6．若正数a，b满足a+b=10，则$\sqrt{a+2}$+$\sqrt{b+3}$的最大值为$\sqrt{30}$．

分析 对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值．

解答 解：正数a，b满足a+b=10，
令y=$\sqrt{a+2}$+$\sqrt{b+3}$，
则y2=a+2+b+3+2$\sqrt{（a+2）（b+3）}$，
∵a+b=10，
∴15=a+2+b+3≥2$\sqrt{（a+2）（b+3）}$（当a+2=b+3时等号成立），
∴y2≤30，
∴$\sqrt{a+2}$+$\sqrt{b+3}$的最大值为$\sqrt{30}$．
故答案为：$\sqrt{30}$．

点评 考查了均值定理的应用，难点是对a+2+b+3≥2$\sqrt{（a+2）（b+3）}$的配凑．

练习册系列答案
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