Question

2014年我国公布了新的高考改革方案，在招生录取制度改革方面，普通高校逐步推行基于统一高考和高中学业水平考试成绩的综合评价、多元录取机制，普通高校招生录取将参考考生的高中学业水平考试成绩和职业倾向性测试成绩．为了解公众对“改革方案”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
频数	5	10	15	10	5	5

（I）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若年龄在[15，25），[55，65）的被调查者中赞成人数分别为4人和3人，现从这两组的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“改革方案”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：

分析：（Ⅰ）求出各组的频率，从而得到图中各组的纵坐标，由此能作出被调查人员的频率分布直方图．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
∴图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，
由此作出被调查人员的频率分布直方图如右图所示．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 2 4 C 2 3

C 2 5 C 2 5

=

18

100

，
P（X=1）=

C 1 1 C 1 4 • C 2 3 + C 2 4 C 1 2 C 1 3

C 2 5 C 2 5

=

48

100

，
P（X=2）=CC

C 1 1 C 1 4 C 1 3 C 1 2 + C 2 4 C 2 2

C 2 5 C 2 5

=

30

100

，
P（X=3）=

C 1 1 C 1 4 C 2 2

C 2 5 C 2 5

=

4

100

．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	18 100	48 100	30 100	4 100

∴X的数学期望为EX=0×

18

100

+1×

48

100

+2×

30

100

+3×

4

100

=

6

5

．

点评：本题考查随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和排列组合知识的合理运用．