Question

10．已知函数f（x）=$\frac{x-a}{（x+a）^{2}}$．
（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；
（Ⅱ）设a≤0，若对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）不存在最小值，通过讨论a的范围求出函数的单调性，判断函数有无最小值，从而确定a的范围即可．

解答 （Ⅰ）解：函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R且x≠-a}，
由题意，f′（a）有意义，所以a≠0．
求导，得f′（x）=-$\frac{（x+a）（x-3a）}{{（x+a）}^{4}}$．…（3分）
所以f′（a）=$\frac{1}{{4a}^{2}}$=1，解得：a=±$\frac{1}{2}$．…（5分）
（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），
等价于“f（x）不存在最小值”．                            …（6分）
①当a=0时，
由f（x）=$\frac{1}{x}$，得f（x）无最小值，符合题意．                    …（8分）
②当a＜0时，
令f′（x）=0，得x=-a 或x=3a．…（9分）
随着x的变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，3a）	3a	（3a，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+	不存在	-
f（x）	↘	极小	↗	不存在	↘

…（11分）
所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，3a），（-a，+∞），单调递增区间为（3a，-a）．
因为当x＞a时，f（x）=$\frac{x-a}{{（x+a）}^{2}}$＞0，当x＜a时，f（x）＜0，所以f（x）_min=f（3a）．
所以当x₁=3a时，不存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁）．
综上所述，a的取值范围为a∈{0}．…（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．