Question

18．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；
方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

Answer 1

分析 设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S₁，S₂，根据基本不等式求出S₁的最大值，用导数求出S₂的最大值，比较即可．

解答 解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S₁，S₂，
方案①，设AE=x，则S₁=$\frac{1}{2}$x（30-x）≤$\frac{1}{2}$[$\frac{x+（30-x）}{2}$]²=$\frac{225}{2}$，当且仅当x=15时，取等号，
方案②，设∠BAE=θ，则S₂=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
由S₂′=100（2cos²θ+cosθ-1）=0得cosθ=$\frac{1}{2}$（cosθ=-1舍去），
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴θ=$\frac{π}{3}$，
当S₂′＞0，解得0＜x＜$\frac{π}{3}$，函数单调递增，
当S₂′＜0，解得$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{2}$，函数单调递减，
∴当θ=$\frac{π}{3}$时，（S₂）max=75$\sqrt{3}$，
∵$\frac{225}{2}$＜75$\sqrt{3}$，
∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了基本不等式和导数的基本应用，关键是求导，属于中档题．