题目内容
17．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，若E为棱AB的中点，①求四棱锥B1-BCDE的体积
②求证：面B1DC⊥面B1DE．
分析 ①由正方形的性质和四棱锥的体积公式结合已知数据可得；
②取B1D的中点O，设BC1∩B1C=F，连接OF，可先证明OE⊥平面B1DC，再证明面面垂直．
解答 
证明：①由正方形的性质可得B1B平面BEDC，
∴四棱锥B1-BCDE的体积V=$\frac{1}{3}$•S梯形BCDE•B1B=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$（a+$\frac{1}{2}$a）•a•a=$\frac{{a}^{3}}{4}$；
②取B1D的中点O，设BC1∩B1C=F，连接OF，
∵O，F分别是B1D与B1C的中点，∴OF∥DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，
又∵E为AB中点，∴EB∥DC，且EB=$\frac{1}{2}$DC，
∴OF∥EB，OF=EB，即四边形OEBF是平行四边形，∴OE∥BF，
∵DC⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴BC1⊥DC，∴OE⊥DC．
又BC1⊥B1C，∴OE⊥B1C，又∵DC?平面B1DC，B1C?平面B1DC，DC∩B1C=C，
∴OE⊥平面B1DC，又∵OE?平面B1DE，∴平面B1DC⊥面B1DE．
点评 本题考查几何体的体积求解和平面与平面垂直的证明，属中档题．
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