Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，记f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*且n≥2），试计算f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），并猜想f₂₀₁₀（x）的表达式．

Answer 1

考点：归纳推理,导数的运算

专题：导数的概念及应用,推理和证明

分析：利用三角函数求导法则求出f₁（x），f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，即可求得正确答案

解答： 解：f₁（x）=f′（x）=cosx-sinx
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-cosx，
f₃（x）=（-sinx-cosx）′=-cosx+sinx，
f₄（x）=sinx+cosx，
f₅（x）=cosx-sinx
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
∴f₂₀₁₀（x）=f_502×4+2（x）=f（2）=-sinx-cosx．

点评：本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键，属于中档题．