Question

18．一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行（2$\sqrt{3}$-2）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．
（1）求AC的长；
（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小？

Answer 1

分析 由题意，结合图形知，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=2$\sqrt{3}$-2，BC=4，故可由余弦定理求出边AC的长度，由于此时在△ABC中，∠ABC=120°，三边长度已知，故可由正弦定理建立方程，求出∠CAB的正弦值，即可得出结论．

解答 解：由题意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+15°=120°，AB=2$\sqrt{3}$-2，BC=4，
根据余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cos∠ABC=（2$\sqrt{3}$-2）²+4²+（2$\sqrt{3}$-2）×4=24，
所以AC=2$\sqrt{6}$．
根据正弦定理得，sin∠BAC=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴∠CAB=45°．

点评 本题是解三角形在实际问题中的应用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知识，解题的关键是将实际问题中的距离、角等条件转化到一个三角形中，正弦定理与余弦定理求角与边，解三角形在实际测量问题-遥测中有着较为广泛的应用，此类问题求解的重点是将已知的条件转化到一个三角形中方便利用解三角形的相关公式与定理，本题考查了转化的思想，方程的思想．