Question

8．已知：函数f（x）=$\frac{sin2x}{e^x}$的图象在（0，f（0））处的切线恰好是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一条渐近线，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率和方程，得双曲线的渐近线，建立a，b，c的关系进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=$\frac{2cos2x{e}^{x}-sin2x{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{2cos2x-sin2x}{{e}^{x}}$，
则函数f（x）在（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）=$\frac{2cos0-sin0}{{e}^{0}}$=2，
f（0）=0，即切点为（0，0），
则对应的切线方程为y=2x，
∵在（0，f（0））处的切线恰好是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一条渐近线，
∴$\frac{b}{a}$=2，即b=2a，则b²=4a²=c²-a²，
即c²=5a²，c=$\sqrt{5}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据导数 的几何意义求出切线方程即双曲线的渐近线方程是解决本题的关键．