Question

10．已知F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a，b＞0）的左、右焦点，B点坐标为（0，$\frac{b}{2}$），直线F₁B与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，且PQ的中点N的横坐标为$\frac{c}{4}$，则双曲线C的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出P，Q的坐标，可得且PQ的中点N的横坐标，利用PQ的中点N的横坐标为$\frac{c}{4}$，求出双曲线C的离心率．

解答 解：由题意，k_PQ=$\frac{b}{2c}$．
直线PQ为：y=$\frac{b}{2c}$（x+c），与y=$\frac{b}{a}$x．联立得：Q（$\frac{ac}{2c-a}$，$\frac{bc}{2c-a}$）；
与y=-$\frac{b}{a}$x．联立得：P（$\frac{-ac}{2c+a}$，$\frac{bc}{2c+a}$）．
∵PQ的中点N的横坐标为$\frac{c}{4}$，
∴$\frac{ac}{2c-a}$+$\frac{-ac}{2c+a}$=$\frac{c}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，确定P，Q的坐标是关键．