Question

2．已知函数$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}+1$，g（x）=x²e^ax（a＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）_min≥g（x）_max成立”，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，$f'（x）=\frac{{（1-{x^2}）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{（1-x）（1+x）}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$．…（2分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
f'（x）	-	+	-
f（x）	↘	↗	↘

所以，函数f（x）的单调递增区间是（-1，1），
单调递减区间是（-∞，-1），（1，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）依题意，“对于任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立”
等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）_min≥g（x）_max成立”．
由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
因为f（0）=1，$f（2）=\frac{2m}{5}+1＞1$，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．
所以应满足g（x）_max≤1．…（7分）
因为g（x）=x²e^ax，所以g'（x）=（ax²+2x）e^ax．…（8分）
因为a＜0，令g'（x）=0得，x₁=0，${x_2}=-\frac{2}{a}$．
（ⅰ）当$-\frac{2}{a}≥2$，即-1≤a＜0时，
在[0，2]上g'（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，
所以函数$g{（x）_{max}}=g（2）=4{e^{2a}}$．
由4e^2a≤1得，a≤-ln2，所以-1≤a≤-ln2．  …（11分）
（ⅱ）当$0＜-\frac{2}{a}＜2$，即a＜-1时，
在$[0，-\frac{2}{a}）$上g'（x）≥0，在$（-\frac{2}{a}，2]$上g'（x）＜0，
所以函数g（x）在$[0，-\frac{2}{a}）$上单调递增，在$（-\frac{2}{a}，2]$上单调递减，
所以$g{（x）_{max}}=g（-\frac{2}{a}）=\frac{4}{{{a^2}{e^2}}}$．
由$\frac{4}{{{a^2}{e^2}}}≤1$得，$a≤-\frac{2}{e}$，所以a＜-1．   …（13分）
综上所述，a的取值范围是（-∞，-ln2]．   …（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．