Question

13．已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）已知f（x）是偶函数，求a的值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，去掉绝对值，即可解不等式f（x）≥2；
（2）已知f（x）是偶函数，f（-x）=f（x），代入计算，即可求a的值．

解答 解：（1）当a=2时f（x）=|x-1|+|x-2|．
由f（x）≥2得|x-1|+|x-2|≥2．
（ⅰ）当x≤1，不等式化为1-x+2-x≥2．即x≤$\frac{1}{2}$．
（ⅱ）当1＜x≤2，不等式化为x-1+2-x≥2不可能成立．
（iii）当x＞2，不等式化为x-1+x-2≥2，即x≥2.5．
综上得，f（x）≥2的解集为{x|x≤$\frac{1}{2}$或x≥2.5}；
（2）∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴|-x-1|+|-x-a|=|x-1|+|x-a|．
∴a=-1．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．